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수포자를 위한 실용주의 수학

수학의 본질

내가 생각하는 수학의 본질은 생각이나 아이디어를 ‘수’를 이용해서 표현하는 것이다. 이 본질 자체가 인간의 문제 해결에 도움이 될 뿐이지, 수학을 못하고 잘하고 같은 것은 본질로 논할 바가 아니다.

왜 ‘수’로 표현해야 하는가?

어떤 숫자를 만들어 낸 사람이 거짓말이나 조작을 하지 않았다면 ‘수’ 그 자체에는 거짓이 없기 때문이다. 그리고 기본교육을 받았다는 가정 하에 ‘같은 의미’로 이해하기 때문이다. (’해석’은 사람마다 다를 수 있다. 숫자 ‘1’에다가 ‘1’을 더하면 ‘2’라는 것을 다른 의미로 이해하는 경우는 아직 보지 못했다. 근데 더하고자 하는 것이 사과 한 개, 배 한 개인지 또는 포도 하나 귤 하나인지는 맥락에 따라 다르다.)

그 자체로는 거짓이 없으므로 신뢰할 수 있고, 같은 의미로 받아들이기 때문에 사람간 커뮤니케이션의 비용도 낮다.

‘수’를 이용해 표현하고자 하는 것

보통 두 가지다.

첫째, 어떤 개념이 무엇을 의미하는지 그 자체를 표현해내는 것

둘째, 개념 그 자체에 적용되거나 개념과 다른 개념 사이에 무슨 관계가 존재하는지 표현해내는 것

개념

개념이란 그 개념이 아닌 것과 구분할 수 있으며, 실존 여부와 상관없이 존재하는 사람의 생각을 뜻한다. 수학에서 흔히 쓰이는 개념을 예시로 들면 ‘넓이’, ‘길이’, ‘허수’ 같은 것들이다. 보통 그 개념을 지칭하는 ‘단어’나 ‘정의’들이 존재한다. 이름을 부여받지 못한 개념들도 물론 존재한다.

관계

‘개념’이라고 부르는 것들에 적용할 수 있는 모든 종류의 ‘연산’을 뜻한다. ‘연산’은 개념이 할 수 있는 모든 동사들을 의미한다. ‘늘린다’, ‘줄인다’, ‘나눈다’, ‘회전한다’ 등이 있다. 보통 연산이라는 것은 개념 하나가 단독으로 실행되지 않고, 다른 개념과 같이 실행된다. 그래서 ‘관계’라고 부른다.

사칙연산 확장하기

논리 비약이 심하긴 하지만 모든 수학 개념들은 사칙 연산을 확장하는 형태로 발전했다. 어렵다는 미적분도 결국 곱하기 나누기의 다른 형태가 아닌가? 곱하고 나누는 대상이 복잡하거나 심오해서 어려울 뿐이다.

수학 개념 대부분이 뭔가 어렵게 표현되어 있지만 결국 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기의 조합으로 볼 수 있다. 무엇과 무엇의 사칙연산인지 파악하는 형태로 수학을 접해보자. 좀 더 쉽고 유연하게 수학을 접하는데 도움이 될 것이다.

더하기

무엇을 더한다는 것은 ‘늘어난다’는 이미지를 가지고 있다. 처음보다 커지는 모든 것들에 대해서 더하기를 적용할 수 있다.

빼기

무엇을 뺀다는 것은 ‘줄어든다’는 이미지를 가지고 있다. 처음보다 작아지는 모든 것들에 대해서 빼기를 적용할 수 있다.

곱하기 나누기

곱하기는 더하기의 축약이다. 나누기는 빼기의 축약이다.

사칙연산과 실제 문제 해결 연결하기

문제를 해결하는 방법은 주로 세 가지가 있다. 첫째, 문제의 양을 아예 없애는 방법. 둘째, 문제의 양을 축소하는 방법. 셋째, 문제를 무시하는 방법이다. 각 해결 방법의 난이도는 맥락과 해결하고자 하는 사람의 창의력에 따라 다르다. (문제라고해서 꼭 해결할 필요는 없다. 모든 문제를 문제삼지 말자)

문제 정의하기

‘문제 = a + b + c’ 또는 ‘문제 = a b c’ 형태로 정의한다. 자신이 속한 맥락에서 각각 a, b, c에 대한 데이터를 수집하던, 관찰(관측)을 해서든 정하라. 각 항목을 어떻게 정의하던 상관없으나, a,b,c,d,e,f,g 에서 끝내도록 하자. 단순할수록 좋다. 어차피 a,b,c 각각 항목도 재귀적으로 같은 방식으로 표현해야 한다.

문제를 어떻게 해결할 것인지 정하기

문제 해결 방법에는 세 가지가 있다고 했다. 어느 방향을 택할 것인지 결정한다. 없애는 방법을 택했다면 a,b,c 항목들이 0이 되도록 해야 한다. 줄이는 방향을 택했다면 a, b, c에 무엇을 더하거나 빼면 양이 줄어드는지 찾는다. 문제를 무시하기로 했다면, a, b, c를 d, e, f로 바꿔보고자 노력하자.

위 과정에서 사칙 연산들이 사용된다. 그 뿐이다. 그런데 그냥 단순한 사칙연산으로 문제를 해결볼려면 상당히 무식하게 진행해야 한다. 바닥부터 전부 쌓아 올리는 형태로 진행하면 인생을 다 바치더라도 해결 볼 수 없는 경우가 생기기 때문에 우리보다 먼저 살아온 사람들의 지혜와 유산을 빌릴 필요가 있다.

방법론 수집하기

태양 아래 새로운 것 없다고, 인간이 겪는 문제들 또한 대부분 특정 ‘카테고리’ 안에 포함되어 있다. 카테고리 분류에 따라 ‘00수학’ 같은 이름을 가지고 있다. 선형 대수학 또는 이산 수학 같은 것들 말이다. 프로그래밍을 할 때 무슨 기능이 필요하면 어떤 라이브러리를 쓴다처럼 대표적인 카테고리들을 알고 있으면 좋다. 각 카테고리에서 정립된 방법론들을 통해 문제 해결을 진행한다.