구두계약 위약금 관련 질문

안녕하세요? 현재 프리 개발하고있는 사람입니다.

제가 처한 상황에 대한 질문사항이 있어 문의드립니다.

우선 제가 계약하기로 한 헤드헌터 (이하 A헤드) 투입 되기로 한 기업 (이하 B기업)

1. 면접을 통해 전화통화로 6월 B기업 투입되기로 함. (계약서는 작성하지않음)

2. 이후 단가가 더 좋은 C기업으로 면접 후 투입 예정.

금일 A헤드쪽에 투입 취소요청

A헤드쪽 답변하기를, B기업과 A헤드가 이미 계약을 맺었다며 본인에게 위약금 배상 이야기함.(소송을 할수있다 등)

위의 상황이 타당한 상황인지, 지식과 경험 공유 부탁드리겠습니다.